Matriu transposada conjugada

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu A de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu A^* de dimensió n per m obtinguda a partir d'A prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:

${\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$

on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de ${\displaystyle a+bi}$, on a i b són reals, és ${\displaystyle a-bi}$.)

També podem escriure aquesta definició com:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}}}$

on ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,\!}$ denota la transposada i ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}\,\!}$ denota la matriu amb entrades conjugades.

La matriu transposada conjugada d'una matriu A es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\,\!}$ o ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\,\!}$, d'ús comú a l'àlgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }\,\!}$, d'ús estès a mecànica quàntica
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}\,\!}$, encara que aquest símbol s'usa més freqüentment a l'hora de denotar la pseudoinversa d'una matriu

En alguns contexts, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\,\!}$ denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*\mathrm {T} }\,\!}$ o ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} *}\,\!}$.